Question

8．如图，已知正方形MNQR内接于锐角△ABC中，设△ABC的面积为S，正方形MNQR的面积为S₁，求证：S₁≤$\frac{1}{2}$S．

Answer 1

分析 由NQ∥AB知△NCQ∽△ABC，设△ABC的底边AB=a，底边上的高为h，正方形的边长为m，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，表示出出正方形的边长，根据不等式的性质得出结论．

解答 解：设△ABC的底边AB=a，底边上的高为h，正方形的边长为m，
∴S=$\frac{1}{2}$ah，
∵NQ∥AB，
∴△NCQ∽△ABC，
∴$\frac{m}{a}=\frac{h-m}{h}$，
∴m=$\frac{ah}{a+h}$，
∴S₁=（$\frac{ah}{a+h}$）²，
根据不等式的性质知：a+h≥2$\sqrt{ah}$，
∴S₁=（$\frac{ah}{a+h}$）²≤（$\frac{ah}{2\sqrt{ah}}$）²=$\frac{1}{4}ah$=$\frac{1}{2}$S，
即S₁≤$\frac{1}{2}$S．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，利用不等式的性质得到a+h≤2$\sqrt{ah}$，是解决问题的关键所在．