Question

19．如图①，点D为一等腰直角三角形纸片的斜边AB的中点，E是BC边上的一点，将这张纸片沿DE折成如图②，使BE与AC边相交于点F，若图①中AB=$\sqrt{10}$，则图②中△CEF的周长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 图，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，连接DF．首先证明△DFB≌△DFC，推出CF=BF，推出△EFC的周长=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=EB′+EC=CB′，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，连接DF．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=B′D，
∴CD=DB′=AD=DB，∠DCB=∠DCA=45°，∠B′=∠B=∠DCA=45°．
∴DH=DM=DN，
∴∠DFM=∠DFN，
∵∠BFM=∠EFC，
∴∠DFB=∠DFC，
在△DFB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCF}\\{∠DFB=∠DFC}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DFC，
∴CF=BF，
∵△EFC的周长=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=EB′+EC=CB′，
∵AB′=$\sqrt{10}$，
∴CB′=AB′•cos45°=$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{5}$，
故答案为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．