Question

8．以7为底的等腰三角形的两腰是方程x²-2（k+2）x+2k²+7=0的两根，则k=3．

Answer 1

分析 根据根的判别式的意义得到△=4（k+2）²-4（2k²+7）=0，解得k₁=1，k₂=3，当k=1时，方程为x²-6x+9=0，利用根与系数得到两腰之和为6，不符合三角形三边的关系，舍去；所以k=3．

解答 解：∵方程x²-2（k+2）x+2k²+7=0有两个相等的两根，
∴△=4（k+2）²-4（2k²+7）=0，
整理得k²-4k+3=0，解得k₁=1，k₂=3，
当k=1时，方程为x²-6x+9=0，两根之和为6，而6＜7，舍去；
当k=3时，方程为x²-10x+25=0，两根之和为10，而10＞7，
∴k的值为3．
故答案为3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．