Question

3．如图：在△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，且∠C=90°，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为$\frac{1}{8}π（{a}^{2}+{b}^{2}）-\frac{1}{2}ab$．

Answer 1

分析 观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积-直角三角形的面积．根据勾股定理又知以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积．然后根据勾股定理求面积即可．

解答 解：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$π×$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$π×$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2}ab$．所以阴影部分的面积是$\frac{1}{8}π（{a}^{2}+{b}^{2}）-\frac{1}{2}ab$，
故答案为：$\frac{1}{8}π（{a}^{2}+{b}^{2}）-\frac{1}{2}ab$．

点评 此题综合运用了勾股定理以及一个结论：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积．