Question

如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线y＝x²＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】分类讨论．

【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．

（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．

（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．

【解答】解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=x²+bx+c中，得：

 0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0   ，

解得： b=-1 c=-4  

∴抛物线的解析式：y=x²-x-4．[来源:学科网ZXXK]

（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：

y=（x+m）²-（x+m）-4+7 2 ，

即：y= x²+（m-1）x+1 2 m2-m-1 2 ；

它的顶点坐标P：（1-m，-1）；

由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；

那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；

当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=5 2 ；

当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；

∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜5 2 ；

又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2 ．

（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如图，在△ABN、△AM₁B中，

∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，

∴△ABN∽△AM₁B，得：AB₂=AN•AM₁；

易得：AB₂=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；

∴AM₁=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；

而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，

∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂-OA=6-4=2．

综上，AM的长为6或2．

【点评】考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．