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如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,将四边形OABC绕点O逆时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′,此时点A′落在线段BC上,且A′B:A′C=2:8.

(1)求AB:OA的值;
(2)如果B′点的纵坐标为27,请你求出A′的坐标;
(3)如图2,在第(2)问的前提下,继续逆时针旋转四边形OA′B′C,使其顶点B′落在BC的延长线上,OA′与直线BC交于点D,求△ODB′的面积.
考点:几何变换综合题
专题:
分析:(1)在RT△A′CO中,运用勾股定理求出AB:OA的值;
(2)作辅助线,设OA=a,运用三角函数求出B′N和NM关于a的式子,运用B′N+NM=27,求出a,再求出点A的坐标.
(3)由△B′A′D≌△OCD,得出A′D=DC,在RT△OCD中利用勾股定理求出DC,进而可得B′D的值,再运用三角形的面积公式求出△ODB′的面积.
解答:解:(1)设OA=a,AB=b,
∵A′B:A′C=2:8,
∴A′C=
8
10
BC=0.8BC,
∵四边形OABC为矩形,
∴A′C=0.8OA=0.8a,OC=AB=b,
由旋转可得OA′=OA=a,
在RT△A′CO中,OA′2=OC2+A′C2
∴a2=b2+(0.8a)2,化简得0.36a2=b2
∴b:a=3:5
即AB:OA=3:5.
(2)如图1,作B′M⊥OA交OA于点M,交OA′于点N,作A′G⊥OA交OA于点G,

设OA=a,由(1)可知,AB=A′G=0.6a,A′C=OG=0.8a,OA′=a,
∴sin∠NOM=
A′G
OA′
=
0.6a
a
=
3
5
,tan∠NOM=
A′G
OM
=
0.6a
0.8a
=
3
4

∵∠B′a′N=∠OMN=90°,
∴∠NB′A′=∠NOM,
NA′
B′A′
=
NA′
0.6a
=
3
4

∴NA′=
9
20
a,
∴ON=a-
9
20
a=
11
20
a,
NA′
B′N
=
3
5

∴B′N=NA′×
5
3
=
9
20
5
3
=
3
4
a,
NM
ON
=
3
5

∴NM=
3
5
ON=
3
5
×
11
20
a=
33
100
a,
3
4
a+
33
100
a=27,
解得,a=25,
∴AB=25×0.6=15,A′C=25×0.8=20,
∴点A′的坐标是(20,15).
(3)如图2,

由(2)可知OA=25,AB=15,
由旋转得,CO=B′A′,∠B′A′D=∠DCO=90°,∠A′DB′=∠CDO,
在△B′A′D和△OCD中,
∠A′DB′=∠CDO
∠B′A′D=∠DCO
B′A′ =CO

∴△B′A′D≌△OCD(AAS)
∴A′D=DC,B′D=OD,
在RT△OCD中,OD2=OC2+DC2
∴(25-DC)2=DC2+152
解得DC=8,
∵B′O是对角线,
∴B′C=25,
∴B′D=B′C-DC=25-8=17.
∴△ODB′的面积=
1
2
B′D•CO=
1
2
×17×15=127.5
点评:本题主要考查了几何变换综合题,解题的关键是利用三角函数列出关于矩形长的关系式,利用B′的纵坐标求出矩形的边长.
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某校为了了解400名七年级男生身体发育情况,随机抽取了100名七年级男生进行身高测量,得到统计表:
身高xcm 人数 组中值
145≤x<155 22
 
155≤x<165 45
 
165≤x<175 28
 
175≤x<185 5
 
(1)计算每个范围内的组中值填入表格中;
(2)估计该校七年级男生的平均身高;
(3)你知道该校七年级大约有多少男生超过平均身高吗?

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计算:3a+(1+
1
a-2
)•
a2-2a
a-1

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每年的6月5日为世界环保日,为提倡低碳环保,某公司决定购买10台节省能源的新机器,现有甲、乙两种型号的新机器可选,其中每台的价格、工作量如下表.
甲型机器乙型机器
价格(万元/台)ab
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(1)求a、b的值;
(2)若该公司购买新机器的资金不能超过110万元,请问该公司有几种购买方案?
(3)在(2)的条件下,若公司要求每月的产量不低于2040吨,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.

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如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D,说明∠A=∠F.
完成下面的说理过程,并在括号内填写相应的依据.
说明:
∵∠1=∠2,(已知)
∠3=∠2,(
 
 )
∴∠1=∠3.(
 
 )
∴DB∥
 
.(
 
 )
∴∠DBA=
 
.(
 
 )
∵∠C=∠D,(已知)
 
=∠D (
 
 )
∴AC∥
 
.(
 
 )
∴∠A=∠F.

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如果关于x的方程
1
2
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x-1
3
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