Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，将四边形OABC绕点O逆时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时点A′落在线段BC上，且A′B：A′C=2：8．

（1）求AB：OA的值；
（2）如果B′点的纵坐标为27，请你求出A′的坐标；
（3）如图2，在第（2）问的前提下，继续逆时针旋转四边形OA′B′C，使其顶点B′落在BC的延长线上，OA′与直线BC交于点D，求△ODB′的面积．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）在RT△A′CO中，运用勾股定理求出AB：OA的值；
（2）作辅助线，设OA=a，运用三角函数求出B′N和NM关于a的式子，运用B′N+NM=27，求出a，再求出点A的坐标．
（3）由△B′A′D≌△OCD，得出A′D=DC，在RT△OCD中利用勾股定理求出DC，进而可得B′D的值，再运用三角形的面积公式求出△ODB′的面积．

解答：解：（1）设OA=a，AB=b，
∵A′B：A′C=2：8，
∴A′C=

8

10

BC=0.8BC，
∵四边形OABC为矩形，
∴A′C=0.8OA=0.8a，OC=AB=b，
由旋转可得OA′=OA=a，
在RT△A′CO中，OA′²=OC²+A′C²
∴a²=b²+（0.8a）²，化简得0.36a²=b²
∴b：a=3：5
即AB：OA=3：5．
（2）如图1，作B′M⊥OA交OA于点M，交OA′于点N，作A′G⊥OA交OA于点G，

设OA=a，由（1）可知，AB=A′G=0.6a，A′C=OG=0.8a，OA′=a，
∴sin∠NOM=

A′G

OA′

=

0.6a

a

=

3

5

，tan∠NOM=

A′G

OM

=

0.6a

0.8a

=

3

4

，
∵∠B′a′N=∠OMN=90°，
∴∠NB′A′=∠NOM，
∴

NA′

B′A′

=

NA′

0.6a

=

3

4

，
∴NA′=

9

20

a，
∴ON=a-

9

20

a=

11

20

a，
∵

NA′

B′N

=

3

5

，
∴B′N=NA′×

5

3

=

9

20

a×

5

3

=

3

4

a，
∵

NM

ON

=

3

5

，
∴NM=

3

5

ON=

3

5

×

11

20

a=

33

100

a，
∴

3

4

a+

33

100

a=27，
解得，a=25，
∴AB=25×0.6=15，A′C=25×0.8=20，
∴点A′的坐标是（20，15）．
（3）如图2，

由（2）可知OA=25，AB=15，
由旋转得，CO=B′A′，∠B′A′D=∠DCO=90°，∠A′DB′=∠CDO，
在△B′A′D和△OCD中，

∠A′DB′=∠CDO ∠B′A′D=∠DCO B′A′ =CO

∴△B′A′D≌△OCD（AAS）
∴A′D=DC，B′D=OD，
在RT△OCD中，OD²=OC²+DC²
∴（25-DC）²=DC²+15²
解得DC=8，
∵B′O是对角线，
∴B′C=25，
∴B′D=B′C-DC=25-8=17．
∴△ODB′的面积=

1

2

B′D•CO=

1

2

×17×15=127.5

点评：本题主要考查了几何变换综合题，解题的关键是利用三角函数列出关于矩形长的关系式，利用B′的纵坐标求出矩形的边长．