Question

20．在△ABC中，AB=$4\sqrt{3}$，∠ABC=30°，BC=10，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为$\frac{8\sqrt{7}}{5}$或$\frac{12\sqrt{7}}{5}$．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，根据∠ABC的正弦和余弦可以求出CD、BD的长度，从而可以求出AD的长度，然后利用勾股定理即可求出AC的长度，再利用相似三角形对应边成比例列式求出AP的长度，再分点P在线段AC上与点P在射线CA上两种情况讨论求解．

解答 解：如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，
∵BC=10，∠ABC=30°，
∴CD=BCsin30°=5，
BD=BCcos30°=5$\sqrt{3}$，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴AD=BD-AB=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{{CD}^{2}{+AD}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PE}{CD}$，
即$\frac{AP}{2\sqrt{7}}$=$\frac{1}{5}$，
解得AP=$\frac{2\sqrt{7}}{5}$，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP=2$\sqrt{7}$-$\frac{2\sqrt{7}}{5}$=$\frac{8\sqrt{7}}{5}$，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP=2$\sqrt{7}$+$\frac{2\sqrt{7}}{5}$=$\frac{12\sqrt{7}}{5}$，
综上所述，CP的长为$\frac{8\sqrt{7}}{5}$或$\frac{12\sqrt{7}}{5}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{7}}{5}$或$\frac{12\sqrt{7}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形，作出图形，利用好30°的角构造出直角三角形是解题的关键，要注意分情况讨论，避免漏解．