Question

19．已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD=AE；
（2）求证：∠DAE=∠BAC；
（2）若∠2=30°，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠1=∠2，根据等腰三角形的性质求出∠ADB=90°，根据AAS推出△AEB≌△ABD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠1=∠3，求出∠2=∠3，即可求出答案；
（3）求出∠BAC=60°，根据等边三角形的判定推出即可．

解答 （1）证明：∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∴AD是BC边上的高，即∠ADB=90°
在△AEB与△ABD中
$\left\{\begin{array}{l}{1=2}\\{∠AEB=∠ADB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△ABD（AAS）
∴AD=AE；

（2）证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3
又∵∠DAE=∠1+∠2，∠BAC=∠1+∠3，
∴∠DAE=∠BAC；

（3）解：△ABC的形状是等边三角形，
理由是：∵∠2=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．