Question

14．如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位时水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m．如果水面到拱顶的距离小于3.8m，需要采取紧急措施以防流水对桥的危害．现洪水经过，测得水面宽MN=32m，此时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

Answer 1

分析 先利用Rt△AOC求出半径，再利用勾股定理求出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断．

解答 解：不需要采取紧急措施．
设OA=r，在Rt△AOC中，AC=30m，CD=18m，
得r²=30²+（r-18）²，
∴r²=900+r²-36r+324，
解得r=34（m），
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，
34²=16²+（34-x）²，
16²+34²-68x+x²=34²，
x²-68x+256=0
解得x₁=4，x₂=64（不合题设，舍去）
∴DE=4，
∵4＞3.8，
∴此时不需采取紧急措施．

点评 本考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用．把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．