Question

（2013•武汉模拟）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；
（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．
（3）在直线OB两边，到OB的距离等于

3

的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．

解答：解：（1）由已知条件，可知OC=OA=

OB

tan30°

=2

3

，∠COA=60°，
C点的坐标为（

3

，3），
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

c=0 12a+2 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=3

，解得

a=-1 b=2 3 c=0

，
所求抛物线的解析式为y=-x²+2

3

x．

（2）由题意，设P（

3

，y），则：
OP²=y²+3、CP²=（y-3）²=y²-6y+9、OC²=12；
①当OP=CP时，6y=6，即 y=1；
②当OP=OC时，y²=9，即 y=±3（y=3舍去）；
③当CP=OC时，y²-6y-3=0，即 y=3±2

3

；
∴P点的坐标是（

3

，1）或（

3

，-3）或（

3

，3-2

3

）或（

3

，3+2

3

）；

（3）
过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．
∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OA=2

3

，OB=4，
由三角形面积公式得：4×AR=2

3

×2，
AR=

3

，
∵△MOB的面积等于△OAB面积，
∴在直线OB两边，到OB的距离等于

3

的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，
∠NOD=∠BOA=30°，ON=

3

，
则OD=2，
求出直线OB的解析式是y=

3

3

x，
则这两条直线的解析式是y=

3

3

x+2，y=

3

3

x-2，
解

y= 3 3 x+2 y=-x2+2 3 x

，

y= 3 3 x-2 y=-x2+2 3 x

，
解得：

x1= 3 y1=3

，

x2= 2 3 3 y2= 8 3

，

x3=2 3 y3=0

，

x4=- 3 3 y4=- 5 3

此时，M₁（

3

，3）、M₂（

2 3

3

，

8

3

）．M₃（2

3

，0）．M₄（-

3

3

，-

5

3

）．

点评：该题主要考查：利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面积的解法等基础知识；类似（2）题的等腰三角形判定题，通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论，以免漏解．