Question

已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=5．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）劣弧AC的长（结果保留π）；
（3）线段AD的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）直接用圆周角定理得到∠AOC的度数；
（2）由（1）已得到圆心角的度数，再通过特殊角求出半径，最后运用弧长公式求出劣弧AC的长；
（3）由切线的性质可得△OAD是直角三角形，而OA，∠AOC已求，利用特殊角很快就可得到AD的长．

解答：解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°（同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）；

（2）∵OA=OC，OH⊥AC，
∴∠AOH=

1

2

∠AOC=30°，而OH=5，
∴AH=

5

3

=

5  3

3

，则OA=

10  3

3

；
∴劣弧AC的长=

60π•  10  3 3

180

=

10  3  π

9

．

（3）∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
又∵∠AOD=60°，OA=

10  3

3

，
∴AD=

3

OA=10．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理和切线的性质定理．同时也考查了弧长公式，记住含30度的直角三角形三边的数量关系．