Question

已知：如图△ABC内接于⊙0，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，下列结论：①∠ABC=∠DBC；②PD=PE：③P是△ACQ的外心；④

BG-AB

AC

是定值，其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①根据圆周角定理的推论即可证明；②根据等弧对等弦和垂径定理即可证明；③根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可证明；④结合图形进行分析．

解答：解：①根据等弧所对的圆周角相等，得∠ABC=∠DBC．故该选项正确；
②根据垂径定理，得点A是弧CE的中点，则弧AE=弧AC=弧CD，则AD=CE，∠ACP=∠PAC，则AP=CP，即PD=PE．故该选项正确；
③根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，
根据等角的余角相等，得∠PCQ=∠PQC，则CP=PQ，即AP=PQ，
所以点P是直角三角形的外心．故该选项正确；
④因为AC和BG都是变量．故该选项错误．
故选A．

点评：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理、直角三角形的性质．