如图.抛物线y=ax2+2ax位于x轴上方的图象记为F1.它与x轴交于P1.O两点.图象F2与F1关于原点O对称.F2与x轴的另一个交点为P2.将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4,再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6,-,按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1.F2.-.Fn．我们把这组图象� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图，抛物线y=ax²+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F₁，它与x轴交于P₁、O两点，图象F₂与F₁关于原点O对称，F₂与x轴的另一个交点为P₂，将F₁与F₂同时沿x轴向右平移P₁P₂的长度即可得到F₃与F₄；再将F₃与F₄同时沿x轴向右平移P₁P₂的长度即可得到F₅与F₆；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F₁，F₂，…，F_n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．

（1）当a=-1时，
①求P₁、P₂及图象F₁的顶点坐标；
②点H（2015，-2）是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象F_n的顶点T_n的横坐标为201，请求出图象对应的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设图象F_m、F_m+1的顶点分别为T_m、T_m+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试在图中先标出Q点所在的位置，再探究：当a为何值时，以O、T_m、T_m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？且直接写出此时n的值．

分析（1）①a=-1代入抛物线的解析式，然后令y=可求得对应的x的值，从而可得到p₁的坐标，然后依据平移的方向和距离可得到点P₂的坐标，接下来，利用配方法可求得抛物线的顶点F₁的坐标②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1即可得出结论；
（2）设OQ中点为O′，则线段T_nT_n+1经过O′，再根据图形平移的性质即可得出结论．

解答解：（1）①当a=-1时，y=ax²+2ax=-x²-2x．
令-x²-2x=0，解得：x=0或x=-2．
∴点P₁的坐标为（-2，0）．
由平移的性质可知P₂的坐标为（2，0）．
∵y=-x²-2x=（x+1）²+1，
∴图象F₁的顶点坐标为：（-1，1）；
②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1，
∴点H（2015，-2），不在该“波浪抛物线”上，
∵图象F_n的顶点T_n的横坐标为201，
201÷4=50…1，故其图象与F₂，F₄…形状相同，
则图象F_n对应的解析式为：y=（x-201）²-1，
其自变量x的取值范围为：200≤x≤202．
（2）设OQ中点为O′，则线段T_nT_n+1经过O′，
由题意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′T_n+1，
∴当T_nT_n+1=OQ=12时，四边形OT_nT_n+1Q为矩形，
∴O′T_n+1=6，
∵F₁对应的解析式为y=a（x+1）²-a，
∴F₁的顶点坐标为（-1，-a），
∴由平移的性质可知，点T_n+1的纵坐标为-a，
∴由勾股定理得（-a）²+（-1）²=6²，
∴a=±$\sqrt{35}$，
∵a＜0，
∴a=-$\sqrt{35}$，故此时n的值为4．

点评本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数平移的性质、二次函数的最值问题是解答此题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

5．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A₁BC₁；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A₂B₁C，连接C₁B₁，则C₁B₁与BC的位置关系为平行；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C₁B₁，探究C₁B₁与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B₁B，若C₁B₁=$\frac{2}{5}$BC，△C₁BB₁的面积为4，则△B₁BC的面积为10．