Question

如图抛物线y＝－x²＋2x＋3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D．

(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．

(2)连接BC、与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点F的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)A(－1，0)　B(3，0)　C(0，3)　x＝1　　2分 　　3k＋b＝0　k＝－1 　　(2)①设直线BC的解析式为y＝kx＋b　得 　　∴直线解析式为y＝－x＋3 　　∵y＝－x2＋2x＋3＝，∴D(1，4) 　　当x＝1时，y＝2，∴点E(1，2)　∴DE＝4－2＝2 　　当x＝m时y＝－m＋3 　　∴P(m，－m＋3)在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝1时，y＝4，∴D(1，4) 　　当x＝m时，y＝－m2＋2m＋3　∴F(m，－m2＋2m＋3) 　　∴PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m　　6分 　　∵PF∥DE　∴当PF＝DE时，四边形PEDFJ是平形四边形， 　　∴－m2＋3m＝2，解得m1＝2，m2＝1(不合题意舍去) 　　∴当m＝2时，四边形PEDF为平形四边形　　9分 　　②设直线PF与x轴相交于点M，由B(3，0)，OB＝3 　　∵S＝ 　　即S＝PF·BM＋PF·OM＝PF·(BM＋OM)＝PF·OB 　　∴S＝×3×(－m2＋3m)＝－m2＋m(0≤m≤3)　　12分