Question

15．提出命题：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
小明提供了如下解答过程：
证明：连结BD．
∵∠1+∠3=180°-∠A，∠2+∠4=180°-∠C，∠A=∠C，
∴∠1+∠3=∠2+∠4．
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠1=∠4，∠2=∠3．
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
反思交流：（1）请问小明的解法正确吗？如果有错，请写出正确的证明过程．
（2）用语言叙述上述命题：B．
运用探究：下列条件中，能确定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
（A）∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4             （B）∠A：∠B：∠C：∠D=1：3：1：3
（C）∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：3：2             （D）∠A：∠B：∠C：∠D=1：1：3：3．

Answer 1

分析 （1）利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论；
（2）由（1）即可得出结论．

解答 解：（1）正确；理由如下：
∵∠1+∠3=180°-∠A，∠2+∠4=180°-∠C，∠A=∠C，
∴∠1+∠3=∠2+∠4．①
∵∠ABC=∠ADC，
即∠1+∠2=∠3+∠4，②
由①②相加、相减得：∠1=∠4，∠2=∠3．
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
（2）∵∠A：∠B：∠C：∠D=1：3：1：3，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）；
故选：B．

点评 本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．