Question

在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且∠ABE=∠DBC．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）若sin∠ABE=，CD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=∠A=90°．
∴∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°．
∵OD=OE，∠ABE=∠DBC，
∴∠2=∠3=∠ABE．
∴∠2+∠1=90°．
∴∠BEO=90°．
∵点E在⊙O上，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：∵∠ABE=∠DBC，
∴sin∠DBC=sin∠ABE=．
∵DC=2，∠C=90°，
∴DB=6，
∵∠A=90°，
∴BE=3AE．
∵AB=CD=2，
利用勾股定理，得AE=，AD=4．
∴DE=．
连接EF．
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠A=90°．
∴AB∥EF．
∴△DEF∽△DAB．
∴．
∴．
∴DF=．
∴⊙O的半径为．
分析：（1）首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠ABE=∠DBC，可证得∠2+∠1=90°，即可得∠BEO=90°，则可证得BE与⊙O相切；
（2）由sin∠ABE=，CD=2，∠ABE=∠DBC，则可求得BC、AE，BE的长，继而可求得DE的长，然后连接EF，易证得△DEF∽△DAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DF的长，即可得⊙O的半径．
点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．