Question

如图，将矩形A₁B₁C₁D₁沿EF折叠，使B₁点落在A₁D₁边上的B点处；再将矩形A₁B₁C₁D₁沿BG折叠，使D₁点落在D点处且BD过F点．
（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；
（2）当∠B₁FE是多少度时，四边形BEFG为菱形？试说明理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）由题意，∠B₁FE=∠FEB，结合∠B₁FE=∠BFE，得BE=BF，同理可得FG=BF，即BE=FG，结合BE∥FG，得到四边形BEFG是平行四边形；
（2）当∠B₁FE=60°时，四边形EFGB为菱形，由∠B₁FE=60°，得∠BFE=∠BEF=60°，得到△BEF为等边三角形，即BE=EF，结合四边形BEFG是平行四边形，即可证得．

解答：（1）证明：∵A₁D₁∥B₁C₁，
∴∠B₁FE=∠FEB．
又∵∠B₁FE=∠BFE，
∴∠FEB=∠BFE．
∴BE=BF．  
同理可得：FG=BF．
∴BE=FG，
又∵BE∥FG，
∴四边形BEFG是平行四边形；

（2）当∠B₁FE=60°时，四边形EFGB为菱形．
理由如下：
∵∠B₁FE=60°，
∴∠BFE=∠BEF=60°，
∴△BEF为等边三角形，即BE=EF．
∵四边形BEFG是平行四边形，BE=EF．
∴四边形BEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

点评：本题主要考查平行四边形和菱形的判定的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，此题难度不大．