Question

21、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥AC，
当EF⊥AC时，∠EOA=∠FOC=90°，
∵AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，矩形对角线的交点为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴四边形EBFD是菱形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．（4分）

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．（5分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又由（1）△BOE≌△DOF得，
OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（6分）
又EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（8分）
（注：小括号内的理由不写不扣分）

点评：本题利用了：1、矩形的性质，2、全等三角形的判定和性质，3、菱形的判定．