Question

14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=15cm，∠A=60°，动点P从点A开始沿AC边向C以2cm/s的速度移动（不与C重合），过P作PD∥BC交AB于D，过P作PE∥AB交BC于E，连接DE，若P点运动的时间为ts．
（1）设四边形ADEC的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，DE的长取最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形得到∠C=30°，AC=2AB=30，BC=15$\sqrt{3}$，由PD∥BC，得到∠APD=∠C=30°，求得AD=t，PD=$\sqrt{3}$t，于是得BE=PD=$\sqrt{3}$t，BD=15-t，于是求得结论；
（2）根据勾股定理得到DE=$\sqrt{（\sqrt{3}t）^{2}+（15-t）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}-30t+225}$=$\sqrt{4（t-\frac{15}{4}）^{2}+\frac{675}{4}}$，于是求得当t=$\frac{15}{4}$s时，DE有最小值，DE的最小值为$\frac{15\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=15cm，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB=30，BC=15$\sqrt{3}$，
由题意得：AP=2t，
∵PD∥BC，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AD=t，PD=$\sqrt{3}$t，
∴BE=PD=$\sqrt{3}$t，BD=15-t，
∴y=S_△ABC-S_△BDE=$\frac{1}{2}$×15$\sqrt{3}$×15-$\frac{1}{2}$（15-t）•$\sqrt{3}$t，
即：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$\frac{15\sqrt{3}}{2}$t+$\frac{225\sqrt{3}}{2}$（0＜t＜15）；

（2）∵BE²+BD²=DE²，
∴DE=$\sqrt{（\sqrt{3}t）^{2}+（15-t）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}-30t+225}$=$\sqrt{4（t-\frac{15}{4}）^{2}+\frac{675}{4}}$，
∴当t=$\frac{15}{4}$s时，DE有最小值，DE的最小值为$\frac{15\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，二次函数的最值，根据四边形ADEC的面积=S_△ABC-S_△BDE求出y与t之间的函数关系式是解题的关键．