Question

3．如图，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x与x轴交于O、A两点，抛物线的对称轴与x轴交于点B，平行于x轴的直线CD交抛物线于C（9，m）、D两点（C点在D点的右边）．
（1）填空：m=3$\sqrt{3}$，抛物线的对称轴x=6．
（2）在四边形OBCD中，动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴方向以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，设运动时间为t秒，把四边形OBCD沿PQ翻折，翻折后点D的对应点为点E．
①当点E落在直线BD上时，求t的值；
②是否存在t的值，使点E落在x轴上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（参考数据：36²=1296，48²=2304）

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式即可得到结论；
（2）①如图1，连接OC，OQ=t，DP=2t，根据已知条件得到四边形OBCD是平行四边形，推出四边形OBCD是菱形，根据菱形的想折叠的OC⊥BD，当E落在直线BD上时，PQ⊥BD，列方程即可得到结论；
②设DE交PQ于F，PQ交OD于G，当P在DC上时，DP＜DC，DG＜DO，则点E落在菱形OBCD内部，不可能落在x轴上，如图2，当P在BC上时，PC=2t-6，PB═12-2t，得到直线PQ的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{12}$x+$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{12}$，若点E落在x轴上，设E（n，0），则点F是DE的中点，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）把C（9，m）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x中得-$\frac{\sqrt{3}}{9}$×9²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×9=m，
解得：m=3$\sqrt{3}$，
对称轴为：直线x=-$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{9}）}$=6，
故答案为：3$\sqrt{3}$，6；
（2）①如图1，连接OC，则OQ=t，DP=2t，
∵抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x的对称轴是x=6，C（9，3$\sqrt{3}$），
∴D（3，3$\sqrt{3}$），OB=CD=6，
∵OB∥CD，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∵OD=6，
∴OD=OB，
∴四边形OBCD是菱形，
∴OC⊥BD，
当E落在直线BD上时，PQ⊥BD，
∴PQ∥OC，
∴P在BC上时不存在符合条件的t值，P在DC上时，PC=6-2t，
∵PC∥AQ，且PQ∥OC，四边形PC OQ是平行四边形，
∴PC=OQ，
∴6-2t=t，解得：t=2，
∴当点E落在直线BD上时，t的值是2；
②当t=3.6时点E落在x轴上，
理由如下：设DE交PQ于F，PQ交OD于G，当P在DC上时，DP＜DC，DG＜DO，
则点E落在菱形OBCD内部，不可能落在x轴上，
如图2，当P在BC上时，PC=2t-6，PB═12-2t，由∠CBA=60°，
得P（12-t，$\sqrt{3}$（6-t）），Q（-t，0），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
解得直线PQ的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{12}$x+$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{12}$，
若点E落在x轴上，设E（n，0），则点F是DE的中点，
∵D（3，3$\sqrt{3}$），
∴F（$\frac{3+n}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∵点F在直线PQ上，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{12}$×$\frac{3+n}{2}$+$\frac{\sqrt{3}（6-t）t}{12}$，
∵DE⊥PQ，过D作DH⊥OA于H过P作PS⊥OA于S，
得△PQS∽△EDH，
∴$\frac{PS}{QS}$=$\frac{EH}{DH}$，
∴$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{12}$=$\frac{n-3}{3\sqrt{3}}$，
解得：t₁=-6（不合题意，舍去），t₂=3.6，
∴当t=3.6时点E落在x轴上．

点评 本题考查了求抛物线的对称轴，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，函数与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．