Question

如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的点，则DE+EF+FD的最小值为（　　）

• A、

  12

  5

• B、

  24

  5

• C、5
• D、6

Answer 1

分析：作F关于AB、BC的对称点F′、F″，作AC关于AB、BC的对称线段，可以发现F′，F″是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点．容易发现，F′F″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD的最小值．

解答：解：作F关于AB、BC的对称点F′、F″
则FD=F′D，FE=F″E．
DE+EF+FD=DE+F′D+F″E．
两点之间线段最短，可知当F固定时，DE+F′D+F″E的最小值就是线段F′F″的长．
于是问题转化：F运动时，F′F″什么时候最短．
F′，F″是关于B点对称的．
作AC关于AB、BC的对称线段，可以发现F′，F″是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点．
很容易发现，F′F″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．

4×3×4

2

=5x
x=

24

5

，高是

24

5

，
故DE+EF+FD的最小值为

24

5

，
此时F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点．

点评：本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度．关键是确定F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点．