Question

28、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，试判断CF与GB的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：首先过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，由Rt△ABC中，∠ACB=90°，易证得，CF=HF，△ACF≌△AHF，同理：△ACE≌△AHE，然后根据直角三角形的性质，证得四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，根据菱形与平行四边形的性质，即可证得CF=GB．

解答：解：CF=GB．
理由：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
∵AF平分∠CAB交CD于E，∠ACB=90°，
∴CF=HF，∠CAF=∠HAF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理：△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．

点评：此题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质以及菱形与平行四边形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．