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如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).

(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值.
解:(1)∵直线与坐标轴分别交于点A、B,
∴x=0时,y=4;y=0时,x=8。∴BO=4,AO=8。∴
当t秒时,QO=FQ=t,则EP=t,
∵EP∥BO,∴△ABO∽△ARP。∴,即
∴AP=2t。
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度。
(2)∵当OP=OQ时,PE与QF重合,此时t=,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动,
∴分0<t<<t≤4两种情况讨论:
如图1,当0<t<。即点P在点Q右侧时,若PQ=PE,矩形PEFQ为正方形,

∵OQ=FQ=t,PA=2t,
∴QP=8-t-2t=8-3t。
∴8-3t=t。
解得:t=2。
如图2,当<t≤4,即点P在点Q左侧时,若PQ=PE,矩形PEFQ为正方形,∵OQ=t,PA=2t,∴OP=8-2t。



解得:t=4。
∴当t为2秒或4秒时,矩形PEFQ为正方形。
(3)同(2)分0<t<<t≤4两种情况讨论:
如图1,当0<t<时,Q在P点的左边
∵OQ=t,PA=2t,∴QP=8-t-2t=8-3t,

∴当t=时,S的最大值为
如图2,当<t≤4时,Q在P点的右边,
∵OQ=t,PA=2t,∴

∵当<t≤4时,S随t的增大而增大,∴t=4时,S的最大值为:3×42﹣8×4=16。
综上所述,当t=4时,S的最大值为:16。

试题分析:(1)根据直线与坐标轴分别交于点A、B,得出A,B点的坐标,再利用EP∥BO,得出,据此可以求得点P的运动速度。
(2)当PQ=PE时,以及当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,分别求出即可。
(3)根据(2)中所求得出S与t的函数关系式,从而利用二次函数性质求出即可。
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x
﹣3
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﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
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