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【题目】如图①、②、③、○n、…、M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.

(1)求图①中∠MON的度数;

(2)图②中∠MON的度数是_________,图③中∠MON的度数是___________;

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).

【答案】(1)120°(2)90°,72°(3)∠MON=.

【解析】试题分析:连接BO,CO那么,:BM=CM,OBM=∠OCN,BO=CO,利用SAS证明△OBM≌△OCN,同理可得,1中的∠MON=∠BOC=120°,图2中心角等于360°÷4=90°,图3的中心角等于360°÷5=72°,所以,(1)120°,(2)90° 72°,(3)正n边形时, ∠MON=BOC=360°÷n, ∠MON是一定值,取特殊位置进行分析,对三个图取BM重合,NC重合,即可求出∠MON的值.

试题解析:(1)解法一:连接OB,OC,

∵正△ABC内接于⊙O,

∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.

又∵BM=CN,OB=OC,

∴△OBM≌△OCN,

∴∠BOM=∠OCN,

∴∠MON=∠BOC=120°.

解法二:连接OA,OB,

∵正△ABC内接于⊙O,

AB=AC,∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°,

又∵BM=CN,

AM=BN,

又∵OA=OB,

∴△AOM≌△BON,

∴∠AOM=∠BON,

∴∠AON=∠AOB=120°.

(2)90°, 72°.

(3)∠MON=.

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