Question

如图1，△ABC内接于半径为4cm的⊙O，AB为直径，

BC

长为

4π

3

cm．

（1）计算∠ABC的度数；
（2）设图1中弓形（阴影部分）面积为S，求出S的值；
（3）将与△ABC全等的△FED如图2摆放，使两个三角形的对应边DF与AC有一部分重叠，△FED的最长边EF恰好经过

AB

的中点M．求证：AF=AB．

Answer 1

考点：圆的综合题,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,矩形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,弧长的计算,扇形面积的计算,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）连结OC，如图1．由圆弧长公式可求出∠BOC，进而可以求出∠ABC的度数．
（2）可采用割补法将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积与△OAC的面积之差，只需运用扇形及三角形的面积公式就可解决问题．
（3）连结OM，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，易证四边形MFHO是矩形，从而得到FH=OM=

1

2

AB，而在直角△AHF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FH=

1

2

AF，就可得到AF=AB．

解答：解：（1）连结OC，如图1．
∵

BC

长为

4π

3

cm，⊙O的半径为4cm，
∴

nπ×4

180

=

4π

3

．
∴n=60，即∠BOC=60°．
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠OBC=60°．
∴∠ABC的度数为60°．

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠ABC=60°，
∴AC=AB•sin∠ABC=8×

3

2

=4

3

，
BC=AB•cos∠ABC=8×

1

2

=4．
∴S_△ACB=

1

2

AC•BC=8

3

．
∵点O是AB中点，
∴S_△AOC=

1

2

S_△ACB=4

3

．
∴S=S_扇形OAC-S_△AOC
=

120π×16

360

-4

3

=

16

3

π-4

3

．
∴S的值为（

16

3

π-4

3

）cm²．

（3）证明：连结OM，过点F作FH⊥AB于点H，如图2．
∵AB为直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAB=90°-60°=30°．
∵FH⊥AB，∴FH=

1

2

AF．
∵点M为

AB

的中点，
∴∠AOM=∠BOM．
∵∠AOM+∠BOM=180°，
∴∠AOM=∠BOM=90°．
∵FH⊥AB，即∠AHF=90°，
∴∠AOM=∠AHF=90°
∴OM∥FH．
∵△ABC≌△FED，∴∠BAC=∠EFD=30°．
∴EF∥AB．
∴四边形MFHO是矩形．
∴FH=OM=

1

2

AB
∴AF=AB．

点评：本题考查了同圆中弧与圆心角的关系、圆弧长及扇形面积公式、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、30°所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的性质等知识，有一定的综合性．