Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)求 的长．

Answer 1

（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME²+AE²=AM²=4，（1分）

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．（1分）

又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．（1分）

又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（1分）

（2）解：连接OM．

在Rt△AEM中，sinA==，

∴∠A=30°．（1分）

∵AB⊥MN，

∴=，EN=EM=1，（1分）

∴∠BOM=2∠A=60°．

在Rt△OEN中，sin∠EOM=，

∴OM=，（1分）

∴的长度是：•=．（1分）