Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE＝BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．

（1）求证：CE＝CF；

（2）若BD＝CE，AB＝9，求线段DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）12.

【解析】

（1）由题意可证△DEC是等边三角形，可求∠ECD=∠DEC=60°，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和，可求∠CEF=∠CFE=30°，即可得CE=CF；

（2）由题意可得BD=3，CD=6，即可求DF的长．

（1）∵△ABC是等边三角形

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°

∵AE＝BD

∴AC﹣AE＝BC﹣BD

∴CE＝CD，且∠ACB＝60°

∴△CDE是等边三角形

∴∠ECD＝∠DEC＝60°

∵EF⊥DE

∴∠DEF＝90°

∴∠CEF＝30°

∵∠DCE＝∠CEF+∠CFE＝60°

∴∠CEF＝∠CFE＝30°

∴CE＝CF

（2）∵BD＝CE，CE＝CD

∴BD＝CD

∵AB＝9

∴BC＝9

∴BD＝3，CD＝6

∵CE＝CF＝CD

∴CF＝6

∴DF＝DC+CF＝12