Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使BD=2BC，连接AD，过C作CE⊥BD交AD于点E，连接BE交AC于点O．
（1）求证：∠CAD=∠ABE．
（2）求证：OA=OC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）求出BC=DC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DE=BE，再根据等边对等角可得∠D=∠DBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACB=∠D+∠CAD，∠ABC=∠DBE+∠ABE，然后等量代换即可得证；
（2）取DE的中点为F，连接CF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CF∥BE且CF=

1

2

BE，根据两直线平行，同位角相等可得∠CFA=∠AEB，然后利用“角边角”证明△CAF和△ABE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，再求出AE=EF，然后根据三角形的中位线定理证明即可．

解答：证明：（1）∵BD=2BC，
∴BC=DC，
∵CE⊥BD，
∴DE=BE，
∴∠D=∠DBE，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠ABC=∠DBE+∠ABE，
∴∠CAD=∠ABE；

（2）如图，取DE的中点为F，连接CF，
∵CE⊥BD，
∴DF=CF=EF，
∵BC=CD，
∴CF∥BE且CF=

1

2

BE，
∴∠CFA=∠AEB，
在△CAF和△ABE中，

∠CFA=∠AEB AC=BA ∠CAF=∠ABE

，
∴△CAF≌△ABE（ASA），
∴AE=CF，
∴AE=CF=DF=EF，
∵CF∥BE，
∴

AO

CO

=

EF

AE

=1
∴AO=CO．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．