Question

19．阅读下面材料：
在小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为5，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？
小明发现：若∠ABC=60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为15；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长不变（填“改变”或“不变”）．
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为5，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．
（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为10+5$\sqrt{3}$；
（2）如图4，若∠ABC的大小为β，则六边形AEFCHG的周长可表示为10+10sin$\frac{β}{2}$．

Answer 1

分析 ①根据题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；
②根据题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；
（1）根据题意可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱的性质即可求解；
（2）根据题意可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱形的性质即可求解．

解答 解：①当重合点在菱形的对称中心O处时，
由题意可知：△BEF和△DGH是等边三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=5+5+5=15．
∴六边形AEFCHG的周长为15；
故答案为：15；
②不变；理由如下：
当重合点在对角线BD上移动时，
由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=5+5+5=15．
∴六边形AEFCHG的周长为15．
故六边形AEFCHG的周长不变．
（1）若∠ABC=120°，
由题意可知：EF+GH=AC，
则六边形AEFCHG的周长为2×5+2×sin60°×5=10+5$\sqrt{3}$；
故答案为：10+5$\sqrt{3}$；
（2）若∠ABC的大小为β，
由题意可知：EF+GH=AC，
则六边形AEFCHG的周长可表示为2×5+2×sin$\frac{β}{2}$×5=10+10sin$\frac{β}{2}$．
故答案为：10+10sin$\frac{β}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定与性质，六边形的性质，菱形的性质以及三角函数等知识；本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度．