Question

如图，在直角梯形ABCD中．AB∥CD，AB=12cm，CD=6cm，DA=3cm，∠D=∠A=90°，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（单位：秒），并且0≤t≤3．
（1）证明不论t取何值，四边形QAPC的面积是一个定值，并且求出这个定值；
（2）请问是否存在这样的t，使得∠PCQ=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）请你探究△PBC能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AC，
则S_{四边形QAPC}=S_△APC+S_△ACQ，
=AP•AD+AQ•CD，
=[3×2t+6×（3-t）]，
=×18，
=9，
故不论t取何值，四边形QAPC的面积是一个定值，这个定值为9．

（2）过C作CE⊥AB，垂足为E，设t秒时，∠PCQ=90°，
∵CD=6cm，DA=3cm，
∴CQ²=36+t²，CP²=9+（6-2t）²，PQ²=（3-t）²+（2t）²，AE=6，AD=3，
∵∠PCQ=90°，
∴CQ²+CP²=PQ²，
即36+t²+9+（6-2t）²=（3-t）²+（2t）²，
解得t=4．
∵0≤t≤3，
∴不可构成直角三角形．

（3）能．
①过C作CE⊥AB于E，则AE=CD=6cm，当p运动到E点时，运动的时间为
=3s，此时Q正好运动到A点．
△PBC中∠CPB=90°．

②当∠PCB=90°时，即P到E点时，
过D作DG∥BC，则四边形DGBC是平行四边形，BG=DC=6cm，
故AG=AB-GB=12-6=6cm，DG=BC===3 cm，
过A作AF∥CE，
则AF=CE，CF=AE=2t，DF=DC-2t=6-2t，
AF=CE==．
在直角三角形BCE中，BE²=CE²+BC²，
即（12-2t）²=（6-2t）²+3²+（3）²，
解得：t=（符合题意）．
故当t=s，或t=3s时△PBC能否构成直角三角形．
分析：（1）连接AC，即可求出四边形QAPC的面积，与t无关．
（2）假设能为直角三角形，利用勾股定理分别求出CQ、PC、PQ的长度，然后在Rt△PCQ中再利用勾股定理列式解关于t的一元二次方程，如果所求解满足0≤t≤3t，则能，否则不可以构成直角三角形．
（3）分∠PCB与∠CPB为直角时两种情况分别求出T的值．
点评：本题考查直角梯形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，要熟记这些定理．