Question

已知关于x的方程x²+（k+2）x+k-1=0．
（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁-1）（x₂-1）=k-3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先计算根的判别式得到=k²+8，再根据非负数的性质得即△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=-（k+2），x₁•x₂=k-1，再利用（x₁-1）（x₂-1）=k-3得到k-1+k+2+1=k-3，然后解一次方程即可．

解答：（1）证明：△=（k+2）²+4（k-1）
=k²+8，
∵k²≥0，
∴k²+8＞0，即△＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x₁+x₂=-（k+2），x₁•x₂=k-1，
∵（x₁-1）（x₂-1）=k-3，
∴x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=k-3，
∴k-1+k+2+1=k-3，
∴k=-5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判别式．