Question

13．直线y=-$\frac{4}{3}$x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}{x}^{2}$+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2），点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=1时，求PD的长；
（3）是否存在点P，使△BDP是等腰直角三角形？若存在，请求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）把m=1代入抛物线的解析式得到P点的纵坐标，于是得到结论；
（3）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD．

解答 解：（1）∵点C（0，4）在直线y=-$\frac{4}{3}$x+n上，
∴n=4，
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令y=0，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2）．
∴c=-2，6+3b-2=0，
∴b=-$\frac{4}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2，

（2）当m=1时，y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2=$\frac{2}{3}$-$\frac{4}{3}$-2=-$\frac{8}{3}$，
∴PD=$\frac{8}{3}$-2=$\frac{2}{3}$；

（3）存在点P，使△BDP是等腰直角三角形，
∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
∵PD⊥x轴，BD⊥PD，
∴点D坐标为（m，-2），
∴|BD|=|m|，|PD|=|$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2+2||，
当△BDP为等腰直角三角形时，PD=BD．
∴|m|=|$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2+2|=|$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m|，
∴m²=（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）²
解得：m₁=0（舍去），m₂=$\frac{7}{2}$，m₃=$\frac{1}{2}$，
∴当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．