Question

17．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
（1）写出O到△BC三个顶点的距离的关系（不要求证明）；
（2）如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论；
（3）若AN=3，NC=4，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连OA，由等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质得OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，并且AO⊥BC，则∠NAO=∠B=45°，根据全等三角形的判定得到△NAO≌△MBO，则 ON=OM，∠AON=∠BOM，又∠BOM+∠AOM=90°，得到∠AON+∠AOM=90°，即可得出△OMN是等腰直角三角形；
（3）由全等三角形的性质得出BM=AN=3，求出AM=AB-BM=4，在Rt△AMN中，由勾股定理求出MN即可．

解答 解：（1）OA=OB=OC；理由如下：
连接OA，如图所示：
∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
∴OA=$\frac{1}{2}$BC=OB=OC，
即O到△BC三个顶点的距离相等；
（2）△OMN是等腰直角三角形；理由如下：
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，$\left\{\begin{array}{l}{AN=BM}&{\;}\\{∠NAO=∠B}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NAO≌△MBO（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
（3）∵AN=3，NC=4，
∴AB=AC=3+4=7，
由（2）得：△NAO≌△MBO，
∴BM=AN=3，
∴AM=AB-BM=7-3=4，
在Rt△AMN中，MN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．