Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边作如图所示的正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．

（1）tan∠AOB=　_________　，tan∠FOB=　_________　；

（2）用含t的代数式表示OB的长；（3）当t为何值时，△BEF与△OFE相似？

Answer 1

解：（1）1（1分），（1分）；

（2）过点A作AM⊥x轴于M，则OM=AM=2；

∵OD=t，

∴OE=2t，ME=2t﹣2，EF=t；

由于EF∥AM，则有△BEF∽△BMA，得：

，即，

解得：BE=，

故OB=OE+BE=2t+=．………………………………………….(3分)

（3）由于点C在线段OA上运动，且不与O、A重合，故0＜t＜2；

在Rt△OEF中，OE：EF=2：1，即OE=2EF；

若△BEF与△OFE相似，则有：

①EF=2BE，即t=2×，

化简得：5t²﹣6t=0，即t=，t=0（舍去）；…………………….. .(2分)

②BE=2EF，即=2t，

化简得：2t²﹣3t=0，即t=0，t=（都不合题意，舍去）；………………………………. .(2分)

综上所述，当t=时，△BEF与△OFE相似．……………………………………………. .(1分)