Question

14．已知x₁，x₂是方程2x²-7x-4=0的两个根那么：x₁²+x₂²=$\frac{65}{4}$；（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{5}{2}$，|x₁-x₂|=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到得x₁+x₂=$\frac{7}{2}$，x₁x₂=-2，再根据代数式变形得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法分别计算即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{7}{2}$，x₁x₂=-2，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{7}{2}$）²-2×（-2）=$\frac{65}{4}$；
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-2+$\frac{7}{2}$+1=$\frac{5}{2}$；
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}-4×（-2）}$=$\frac{9}{2}$．
故答案为$\frac{65}{4}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．