Question

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为

 

，数量关系为

 

．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．且AC=4

2

，BC=3，∠BCA=45°，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先选择图2证明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四边形ADEF是正方形，易证得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，证得CF⊥BD；
（2）首先作辅助线：过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得：AG•CP=GD•DC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，设GD=x，即可求得CP关于x的二次函数，求得最大值．

解答：解：（1）CF⊥BD，CF=BD．
证明：选择图2证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD．

（2）如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接CF．
∴∠AGD=90°，
∴∠ADG+∠GAD=90°，
∵CF⊥BD．
∴∠PCD=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADG+∠PDC=90°，
∴∠ADG=∠DPC，∠PDC=∠GAD，
∴△AGD∽△DCP，
∴

AG

DC

=

GD

CP

，
即AG•CP=GD•DC，
在等腰Rt△AGC中，
∵AC=4

2

，
∴AG=GC=4，
设GD=x，
则DC=4-x，
∵

AG

DC

=

GD

CP

，
∴

4

4-x

=

x

CP

，
∴CP=

1

4

x（4-x），
∴CP=-

1

4

x2+x，
当x=2时，CP取得最大值，最大值为1．

点评：此题考查了全等三角形与相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数最大值问题．此题综合性很强，解题时要注意数形结合思想的应用．