Question

如图，已知矩形ABCO，点A为（0，8），点C在x轴正半轴上，直径为10的⊙I经过点A和点O，交x轴正半轴于点P，交AB于点D．
（1）求证：PD∥BC；
（2）当直线BC与⊙I相切时，求点C的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOP=90°，
∴AP是⊙I的直径，
∴∠ADP=90°（2分）
又∵四边形ABCO是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ADP=∠ABC，
∴DP∥BC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；

（2）解：过I点作直线EF⊥BC于E，交y轴于F．
由勾股定理得，OP=；
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC∥AO，
∴IF⊥AO；
∵AO是⊙I的弦，
∴AF=FO，
∴IF==3；
∵BC是⊙I的切线，
∴IE=IA=5，
∴OC=EF=8，
∴点C的坐标是（8，0）．
分析：（1）根据直角∠AOP=90°所对的弦是直径知AP是⊙I的直径，再由直径所对的圆周角是直角知，∠ADP=90°；然后由矩形ABCO的四个角都是直角得到∠ABC=90°；最后根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行来证明DP∥BC；
（2）过I点作直线EF⊥BC于E，交y轴于F．在直角三角形APO中根据勾股定理求得OP=6；再由（1）的结论及矩形ABCO的对边相互平行的性质知IF⊥AO，根据垂径定理知AF=FO，从而求得IF=3；最后根据切线的性质求得⊙I的直径、即OC=8，所以点C的坐标是（8，0）．
点评：本题综合考查了圆的切线性质、勾股定理、矩形的性质、圆周角定理等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．