Question

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，0），经过原点的直线交线段AB于点C，过点C作OC的垂线与直线x=1相交于点P，设AC=t，点P的坐标为（1，y），
（1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求y与t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）当△PBC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先得出∠A=∠ABO=∠ABN=45°，进而得出AM=CM，CN=BN，即可表示出C点坐标；
（2）利用矩形的性质得出，OM=CN，进而得出△MCO≌△NCP，即可得出OC=CP，即可得出y与t之间的函数关系式；
（3）利用△PBC为等腰三角形分别当PB=PC时，以及当BP=BC时，求出即可．

解答：解：（1）过点C作MN∥OB，分别交y轴于点M，直线x=1于点N，
∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，0），即OA=OB，
∴∠A=∠ABO=∠ABN=45°，
∵CM⊥y轴，∴AM=CM，CN=BN，
∵AC=t，∴AM=MC=

2

2

t（1分），
∴MO=1-

2

2

t（1分），
∴点C的坐标为（

2

2

t，1-

2

2

t）（1分）；


（2）∵四边形MOBN为矩形，
∴OM=BN，
∴OM=CN
∵∠MCO+∠NCP=90°，∠MCO+∠MOC=90°
∴∠NCP=∠MOC，
∴△MCO≌△NCP，
∴OC=CP
∴PN=

2

2

t，BN=1-

2

2

t，
∵点P的坐标为（1，y），
∴y=1-

2

2

t-

2

2

t，
∴y=1-

2

t，（0≤t＜

2

）；

（3）∵△PBC为等腰三角形B（1，0），C（

2 t

2

，1-

2 t

2

），P（1，1-

2

t），
当PB=PC时，
（

2

t-1）²=（

2 t

2

-1）²+（1-

2 t

2

-1+

2

t）²．
解得t=0，
故点P的坐标为（1，1）；（2分）
当BP=BC时，即（

2

t-1）²=（1-

2 t

2

）²+（

2 t

2

-1）²．
解得t=1，
故点P的坐标为（1，1-

2

）（2分）

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及矩形的性质以及一次函数的综合应用等知识，（3）中要根据P点的不同位置进行分类求解是解决问题的关键．