Question

5．已知a=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$，则a⁴-5a³+10a²-11a+4的值为1．

Answer 1

分析 由a的值可求出$\frac{1}{a}$的值，将a和$\frac{1}{a}$相加再乘a即可得出a²-3a+1=0，利用分组法分解因式将原式分解成（a²-3a+1）（a²-2a+3）+1，代入a²-3a+1=0即可得出结论．

解答 解：∵a=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$，
∴$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$，
∴a+$\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$+$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）^{2}+（\sqrt{5}+1）^{2}}{（\sqrt{5}+1）（\sqrt{5}-1）}$=$\frac{5+1-2\sqrt{5}+5+1+2\sqrt{5}}{5-1}$=$\frac{12}{4}$=3，
两边同时乘a，则：a²+1=3a，
即a²-3a+1=0．
原式=a⁴-3a³+a²-2a³+6a²+3a²-2a-9a+3+1，
=（a⁴-3a³+a²）+（-2a³+6a²-2a）+（3a²-9a+3）+1，
=a²（a²-3a+1）-2a（a²-3a+1）+3（a²-3a+1）+1，
=（a²-3a+1）（a²-2a+3）+1，
∵a²-3a+1=0，
∴原式=（a²-3a+1）（a²-2a+3）+1=0+1=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，根据a的值找出a²-3a+1=0是解题的关键．