Question

如图所示，直线AB为⊙O₁与⊙O₂的一条外公切线，O₁A=5cm，AB=9cm，O₂B=2cm，求：
（1）O₁O₂的长；
（2）BP的长；
（3）PO₂的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作O₂C⊥O₁A于点C，则则四边形ABO₂O₁是矩形，求得O₁O₂的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）易证△PAO₁∽△PBO₂，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）在直角△BPO₂中利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）作O₂C⊥O₁A于点C．
又∵直线AB为⊙O₁与⊙O₂的一条外公切线，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
则四边形ABO₂O₁是矩形，
∴O₂C=AB=9cm，AC=5-2=3cm，
则在直角△O₁O₂C中，O₁O₂=

O1C2+O2C2

=

92-32

=6

2

（cm）；
（2）∵O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴O₁A∥O₂B，
∴△PAO₁∽△PBO₂，
∴

BP

AP

=

O2B

O1A

，
即

BP

BP+9

=

2

5

，
解得：BP=6（cm）；
（3）在直角△BPO₂中，PO₂=

O2B2+BP2

=

22+62

=2

10

（cm）．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．