Question

（2012•宜昌二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，
（1）求证：CD是⊙O的直径；
（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；
（3）当AB=2

3

，BC=6时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据垂直定义得出∠DEC，根据圆周角定理求出即可；
（2）根据圆的切线求出∠BED=∠OEC=∠C，根据直角三角形斜边性质求出BE=CE，求出∠C=∠EBC，根据三角形内角和定理求出∠C即可；
（3）求出AC，CE，根据解直角三角形求出CD，得出圆的半径，求出∠EOC，根据扇形的面积求出扇形的面积，求出△OEC的面积，相减即可．

解答：（1）证明：∵AC的垂直平分线是DE，
∴∠CED=90°，
∴CD是⊙O的直径；

（2）解：连接OE，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∵若BE是⊙O的切线，
∴BE⊥OE，
∠BED+∠DEO=∠DEO+∠OEC=90°，
∴∠BED=∠OEC，
∵BE是Rt△ABC斜边中线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C=∠OEC，
在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO=180°，
∴∠C=30°．

（3）解：∵AB=2

3

，BC=6，
∴tanC=

3

3

，∠C=30°，AC=2AB=4

3

，
∴EC=2

3

，
∵cos∠C=

CE

CD

，
∴cos30°=

2 3

CD

，
∴CD=4，
∴OC=

1

2

CD=2，
∵∠C=∠CEO=30°，
∴∠COE=120°，
∴扇形OEC的面积为

120π×22

360

=

4

3

π，
作OF⊥EC，垂足是F，
∵∠C=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，
∴△OCE的面积为

1

2

×2

3

×1=

3

，
即阴影部分的面积为

4

3

π-

3

．

点评：本题考查了直角三角形斜边中线性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，切线性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．