Question

已知，AB为圆O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连接OE，OF，求证：
（1）OE=OF；
（2）CE=DF．

Answer 1

考点：垂径定理,矩形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）连接OC、OD、OG，作OH⊥BG于H，交CD于M，根据已知条件证得四边形BGFE是矩形，得出BG=EF，BG∥EF，根据垂径定理证得BH=GH，EF⊥OH，进而证得四边形BHME和四边形GHMF也是矩形，从而证得ME=BH=GH=MF，根据线段的垂直平分线的性质即可证得OE=OF．
（2）根据垂径定理得出CM=DM，由（1）已经证得ME=MF，根据等量减等量还是等量即可证得．

解答：（1）证明：连接OC、OD、OG，作OH⊥BG于H，交CD于M，
∵AB为圆O的直径，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，
∴∠BGF=90°，
∴四边形BGFE是矩形，
∴BG=EF，BG∥EF，
∵OH⊥BG，
∴BH=GH，EF⊥OH，
∴四边形BHME和四边形GHMF也是矩形，
∴ME=BH=GH=MF，
∴OE=OF．

（2）证明：∵OM⊥CD，
∴CM=DM，
∵ME=MF，
∴CM-ME=DM-MF，
即CE=DF．

点评：本题考查了垂径定理和矩形的性质以及线段的垂直平分线的性质等，垂径定理的应用是解题的关键．