Question

关x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有两个实数根x₁、x₂，
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足等式x₁x₂-x₁-x₂+1=0，求m的值．

Answer 1

解：（1）先化简方程（x-2）（x-3）=m为x²-5x+6-m=0，
∴a=1，b=-5，c=6-m，
∴△=b²-4ac=（-5）²-4×1×（6-m）=1+4m≥0，
∴m≥-．
（2）∵x₁+x₂=5，x₁•x₂=6-m，
∴x₁x₂-x₁-x₂+1=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=6-m-5+1=0
∴m=2．
分析：（1）方程有实数根，则根的判别式大于或等于0，求出m的取值范围．
（2）根据根与系数的关系即可求得x₁+x₂=5，x₁•x₂=6-m，代入等式x₁x₂-x₁-x₂+1=0，即可得到关于m的方程，求出m的值．
点评：总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程的根与系数的关系为：x₁+x₂=，x₁•x₂=．