Question

15．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求：AM=10cm，$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{8}{7}$；
（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S_△AED=2S_△DGC；
（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（4）若BD=8，则CD=7cm．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△ADF≌△ADM，得出AM=AF=10cm；由角平分线的性质得出DF=DM，得出S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，即可得出答案；
（2）由于DF=DM，所以S_△AED与S_△DGC之比就等于AE与CG之比，而AE与CG之比为2；
（3）只需让EF=MG即可；
（4）由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{8}{7}$，即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴∠AFD=∠AMD=90°，DF=DM，
在△ADF和△ADM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠DAC}&{\;}\\{∠AFD=∠AMD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADM（AAS），
∴AM=AF=10cm；
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DM，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{16}{14}$=$\frac{8}{7}$；
故答案为：10，$\frac{8}{7}$；
（2）∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AE•DF，S_△DGC=$\frac{1}{2}$CG•DM，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=$\frac{AE}{CG}$，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2t，CG=t．
∴∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=$\frac{AE}{CG}$=2，
∴在运动过程中，不管t取何值，都有S_△AED=2S_△DGC；
（3）∵∠BAD=∠DAC，AD=AD，DF=DM，
∴△ADF≌△ADM．
∴AF=AM=10．
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t，
∴EF=AF-AE=10-2t，CG=t．
∴0＜t＜5．
①当M在线段CG上时，MG=CG-（AC-AM）=t-4．
当EF=MG时△DFE与△DMG全等时．
∴10-2t=t-4．
解得：t=$\frac{14}{3}$．
②当M在线段CG延长线上时，MG=4-t．
∴10-2t=4-t．
解得t=6（舍去）．
③当E在BF上时，2t-10=t-4，
解得：t=6，符合题意，
∴当 t=$\frac{14}{3}$s或6s时，△DFE 与△DMG 全等．
（4）∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{8}{7}$，
∵BD=8，
∴CD=7，
故答案为：7．

点评 本题是三角形综合题目，考查了角平分线的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识点，难度适中．