Question

14．如图，△ABD内接于⊙O，点E是BD上一点，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，DF；过点B作AD的平行线BC交AF于点C，连接DC并延长交⊙O于点G．
（1）若AE=EC，求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AE=1，EC=2，BE=3，$\widehat{AD}$=$\widehat{GF}$，求GD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ADE≌△CBE，根据全等三角形的性质得到AD=BC，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）证明△CEB∽△BEF，根据相似三角形的性质求出EF，求出AF，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到DG=AF．

解答 （1）证明：∵BC∥AD，
∴∠ADE=∠CBE，
在△ADE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBE}\\{∠AED=∠CEB}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBE，
∴AD=BC，又BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）解：由圆周角定理得，∠BFE=∠ADB，
∴∠BFE=∠CBE，又∠CEB=∠BEF，
∴△CEB∽△BEF，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{BE}{EF}$，即$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{EF}$，
解得，EF=4.5，
∴AF=AE+EF=5.5，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{GF}$，
∴$\widehat{AD}$+$\widehat{DF}$=$\widehat{GF}$+$\widehat{DF}$，即$\widehat{DG}$=$\widehat{AF}$，
∴DG=AF=5.5．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．