Question

如图，已知AB、AC为⊙O的两条弦，D、E分别是

AB

、

AC

的中点，求证：
（1）AF=AG；
（2）AF²=DF•EG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）连接OD交AB于M，连接OE交AC于N，易证∠ODE=∠OED和∠DFB=∠EGC，即可求得∠AFG=∠AGF，可得AF=AG；
（2）连接AD、AE，先证明△ADF∽△AEG，得出比例式AF：DF=EG：AG，得AF×AG=DF×EG，再由AF=AG，即可证出结论．

解答：证明：（1）连接OD交AB于M，连接OE交AC于N，如图所示：
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵D、E分别是

AB

、

AC

的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODE+∠DFB=90°，∠OED+∠EGC=90°，
∴∠DFB=∠EGC，
∵∠AFG=∠DFB，∠AGF=∠EGC，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG；
（2）连接AD、AE，
由（1）得：∠AFG=∠AGF，
∴∠AFD=∠EGA，
∵D是

AB

的中点，
∴

BD

=

AD

，
∴∠DAF=∠AEG，
∴△ADF∽△AEG，
∴AF：DF=EG：AG
∴AF×AG=DF×EG
又∵AF=AG
∴AF²=DF×EG

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理；培养学生综合运用定理进行推理论证的能力，证明角相等是解题的关键．