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    如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，6），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，连PD和BD．
    （1）求B点坐标和直线AB的解析式．
    （2）求证：OP=BD，并求出当点P运动到点（2，0）时点D的坐标；
    （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于
    		3
    2
    ？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    考点：一次函数综合题
    专题：
    分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=3，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
    （2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．OP=BD，过点D作DH⊥x轴于H，延长EB交DH于G，则BG⊥DH，在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
    （3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
    ①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
    ②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即-2
    		3
    ＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
    ③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤-2
    		3
    时，方法同②．
    综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
    解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，由题意可知
    BF=OE=3，OF=
    		42-22
    =2
    		3
    ，
    ∴点B（3
    		3
    ，3），
    设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0，6），B（3
    		3
    ，3）代入，得
    b=6
    3
    		3
    k+b=3
    ，
    解得
    k=-
    		3
    3
    b=6
    ．
    ∴直线AB的解析式为y=-
    		3
    3
    x+6；

    （2）如图1，∵AP绕着点A按逆时针方向旋转60°得到AD，
    ∴AP=AD，∠DAP=∠BAO，
    ∴∠OAP=∠BAD，
    在△AOP与△ABD中，
    AP=AD
    ∠OAP=∠BAD
    AO=AB
    ，
    ∴△AOP≌△ABD（SAS），
    ∴OP=BD，
    过点D作DH⊥x轴于H，延长EB交DH于G，则BG⊥DH，
    在RT△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
    ∴BG=
    1
    2
    BD    =
    1
    2
    OP    =1，DG=
    		3
    BG=
    		3
    ，
    ∴OH=OF+FH=OF+BG=3
    		3
    +1，DH=DG+OE=3+
    		3
    ，
    ∴点D的坐标为（3
    		3
    +1，3+
    		3
    ），

    （3）假设存在点P，使△OPD的面积等于
    		3
    2
    ，
    ①当t＞0时，如图1，∵BD=OP=t，DG=
    		3
    2
    t，
    ∴DH=3+
    		3
    2
    t，
    ∵△OPD的面积等于
    		3
    2
    ，
    ∴
    1
    2
    t（3+
    		3
    2
    t）=
    		3
    2
    ，
    解得t1=-
    		3
    +
    		5
    ，t2=-
    		3
    -
    		5
    （舍去），
    ∴点P的坐标（-
    		3
    +
    		5
    ，0）；
    ②当-2
    		3
    ＜t≤0时，如图2，∵BD=OP=-t，BG=-
    		3
    2
    t，
    ∴DH=GF=3-（-
    		3
    2
    t）=3+
    		3
    2
    t，
    ∵△OPD的面积等于
    		3
    2
    ，∴-
    1
    2
    t（3+
    		3
    2
    t）=
    		3
    2
    ，
    解得：t3=-
    		3
    +1，t4=-
    		3
    -1，
    ∴点P的坐标为（-
    		3
    +1，0），（-
    		3
    -1，0），
    ③当t≤-2
    		3
    时，如图3，∵BD=OP=-t，DG=-
    		3
    2
    t，
    ∴DH=-
    		3
    2
    t-3，
    ∵△OPD的面积等于
    		3
    2
    ，
    ∴-
    1
    2
    t（-
    		3
    2
    t-3）=
    		3
    2
    ，
    解得：t5=-
    		3
    +
    		5
    ，（舍去），t6=-
    		3
    -
    		5
    ，
    ∴点P的坐标为（-
    		3
    -
    		5
    ，0），
    综上，存在点P，使△OPD的面积等于
    		3
    2
    ，点P的坐标为P1（-
    		3
    +
    		5
    ，0），P2（-
    		3
    +1，0），P3（-
    		3
    -1，0），P4（-
    		3
    -
    		5
    ，0）；
    点评：本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大．
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    ．

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    ．

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