Question

（1998•宁波）如图，在直角坐标系中，OA=OC，AB=4，tan∠BCO=，二次函数y=ax²+bx+c图象经过A、B、C三点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）求过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用OB表示出OA、OC的长，进而在Rt△OBC中，根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得到OA、OC的长，也就求得了A、B、C的坐标；
（2）用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）根据抛物线的解析式可求得D点的坐标；过D作DE⊥x轴于E，根据抛物线与圆的对称性可知DE必过圆心，连接MB（设圆心为M），在Rt△MEB中，可用⊙O的半径表示出ME、MB的长，进而由勾股定理求出⊙O的半径．
解答：解：（1）设OB=x，则OA=OC=4+x；
Rt△OBC中，tan∠BCO==，即：
OC=5OB，4+x=5x，
解得x=1；
∴OB=1，OA=OC=5；
∴A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x+5），依题意有：
a（0+1）（0+5）=5，a=1；
∴y=（x+1）（x+5）=x²+6x+5；

（3）由（2）知：y=x²+6x+5=（x+3）²-4，则D（-3，-4）
过D作DE⊥x轴于E，则DE必过圆心M，连接BM，
设⊙M的半径为R；
Rt△BME中，BM=R，ME=DE-DM=4-R，BE=AB=2；
由勾股定理得：BM²=ME²+BE²，
即R²=（4-R）²+4，
解得R=2.5；
故过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径为2.5．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、解直角三角形、垂径定理及勾股定理的应用等知识，难度适中．