Question

12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，以CE为边作正方形ECGF，连结AF，若AE=4cm，AD=6cm，AB=3cm．则AF的长度是$\sqrt{53}$cm．

Answer 1

分析 如图，作FM⊥AD于M，只要证明△ECD≌△FEM，可得，AM=7，FM=2，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，作FM⊥AD于M，

∵四边形EFGC是正方形，
∴EF=EC，∠FEC=∠M=90°，
∴∠FEM+∠EFM=90°，∠FEM+∠CED=90°，
∴∠EFM=∠CED，
在△ECD和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠M}\\{∠CED=∠EFM}\\{EC=EF}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FEM，
∴FM=ED，CD=EM，
∵AB=CD=EM=3，AE=4．AD=6，
∴ED=FM=2，
在Rt△AFM中，AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{53}$．
故答案为$\sqrt{53}$

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质．勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．