Question

10．如图1，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CD′E′叠放在一起．
（1）操作：固定△ABC，将△CD′E′绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试说明理由；
（2）操作：固定△ABC，若将△CD′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除△ABC和△CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？直接写出你的结论．
（3）探究：如图4，在（2）的条件下，将△PQR的顶点P移动至F点，求此时QH的长度．

Answer 1

分析 （1）求两条线段之间的关系，可先证明△BCE≌△ACD，进而根据全等三角形的性质，得出两条对应边之间的关系；
（2）等腰三角形的判定问题，可根据题中角之间的关系得出∠QHC=∠QCH，即可得到QH=QC，进而判定△HQC为等腰三角形；
（3）根据等边三角形的性质，求得BF=2=AF，再利用勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质进行求解，或者根据（2）中的结论，即可得出QH的长度．

解答 解：（1）BE=AD．
理由：由题意可得，BC=AC，CE=CD，
∵∠BCE+∠ACE=60°，∠ACE+∠ACD=60°
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）△HQC为等腰三角形．
理由：∵∠FCB=30°，∠ACB=60°，
∴∠ACF=30°，
又∵∠RQP=60°，
∴∠QHC=60°-30°=30°，
∴∠QHC=∠QCH，
∴QH=QC，即△HQC为等腰三角形；

（3）解法1：∵∠BCF=30°，BC=4，∠B=60°，
∴Rt△BCF中，BF=2，CF=2$\sqrt{3}$，
又∵FQ=3，
∴CQ=FC-FQ=2$\sqrt{3}$-3，
由（2）可得，HQ=CQ=2$\sqrt{3}$-3．

解法2：∵∠BCF=30°，BC=4，∠B=60°，
∴Rt△BCF中，BF=2=AF，
∴在Rt△AFG中，FG=$\sqrt{3}$，
∴GR=3-$\sqrt{3}$，
∵∠RHG=30°，
∴在Rt△GRH中，RH=2（3-$\sqrt{3}$），
∴HQ=3-2（3-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等边三角形的性质，勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质的综合应用．掌握两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，是正确解答第（1）问的关键．在判定等腰三角形时注意：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．